为了防止或否定学生对于数学知识的错误认识而列举的一些数学事例。它是数学课堂上的“调节器”。运用数学反例对学生的智力活动能起定向纠错、提炼升华的作用，并维持数学课堂教学按既定的路线进行。课堂教学中要有运用反例的意识。现就学生在理解和运用知识的过程中何时出示数学反例谈几点看法。
（一）当概念的内涵比较丰富时要举反例
所谓内涵比较丰富是指关于概念的本质属性比较多。小学生的感知不全面、不精细，理解这类知识时，可能因教师揭示其本质的方式不当致使学生常常丢掉了新知中部分本质属性，从而产生错误的认识。此时可举反例，帮学生找回被丢掉的部分本质属性，获得正确知识。例如，学习“等腰直角三角形”知识时，等腰直角三角形的本质属性较多，内涵丰富，由“等腰”“直角”“三角形”三方面组成。一些学生学习后，不是丢了等腰，就是忘了直角，有的甚至丢了三角形三条边“首尾相连”的性质。此时要举反例，如“直角”常为学生忽视，错把等腰三角形判定为等腰直角三角形，这时老师应出示等腰直角三角形的正确图形，引导学生在比较中再次认识“直角”，否定错误的认识。另外“等腰”“首尾相连”等性质亦可如是强调。因此，当学生对内涵丰富的知识感知不全时可通过数学反例，突显出所学知识中易为学生忽视的本质属性，促进学生对所学知识的全面认识，深刻理解。
（二）当某一概念易向邻近概念泛化时，要举反例
在数学的知识结构中，相近的或相互联系的知识，学生容易发生混淆，在心理学上称为“痕迹性错误”，主要是因旧知识痕迹的影响而发生的错误。概念泛化即指学习概念过程中痕迹错误的发生过程。此时可通过举反例否定学生的错误认识，澄清相邻概念的区别和联系。如概念“整除”和“除尽”，内涵相仿，都是表示除得的结果没有余数，但整除的要求更严格；作为判定整除的条件，显然不够充分。为了防止错误的产生，抑制概念的泛化，教师可以通过具体的例子来帮助学生区分这两个概念。例如，8÷2=4，这是一个典型的整除的例子，因为8和2都是整数，且结果也是整数。然而，8÷1.5=5.333...，虽然结果没有余数，但由于1.5不是整数，所以这并不构成整除。通过这样的反例，学生可以更加清晰地理解“整除”与“除尽”之间的区别，避免将两者混淆。
（三）当学生对概念的理解存在普遍性误区时，要举反例
在教学过程中，有时会发现学生对某个概念的理解普遍存在一定的误区，这种误区往往具有一定的普遍性和代表性。在这种情况下，教师应当及时通过反例来纠正学生的错误认识，帮助他们建立正确的概念框架。例如，在学习“分数”这一概念时，很多学生会误认为分子大于分母的分数就是假分数，而分子小于分母的分数就是真分数。这种认识虽然在一定程度上是正确的，但并不全面。实际上，分数的分类不仅仅取决于分子和分母的大小关系，还涉及到分数的意义和应用背景。例如，-3/4虽然是一个负数，但它仍然是一个真分数，因为它可以表示一个整体中的部分。同样，5/2虽然是一个假分数，但它也可以表示一个完整的单位加上半个单位。通过这些反例，教师可以帮助学生认识到，分数的分类需要综合考虑多个因素，而不仅仅是分子和分母的大小关系。
（四）当学生对概念的应用存在偏差时，要举反例
数学是一门应用性很强的学科，许多概念不仅需要学生理解，还需要他们在实际问题中灵活运用。然而，在实际应用中，学生往往会因为对概念理解不透彻或方法掌握不熟练而出现偏差。此时，教师应当通过反例来引导学生反思自己的解题思路，找出问题所在，进而提高解题能力。例如，在解决“最小公倍数”问题时，有些学生可能会习惯性地将两个数的乘积作为它们的最小公倍数。这种做法在某些情况下确实能够得到正确的答案，但在大多数情况下是错误的。例如，求12和18的最小公倍数，如果直接相乘得到216，显然不是最小的。通过这个反例，教师可以引导学生回顾最小公倍数的定义和求法，帮助他们掌握正确的解题步骤。同时，教师还可以进一步拓展，介绍如何利用分解质因数的方法来求最小公倍数，使学生在解决类似问题时更加得心应手。
（五）当学生对概念的逻辑关系理解不深时，要举反例
数学概念之间往往存在着复杂的逻辑关系，这些关系对于学生深入理解数学知识至关重要。然而，由于学生的认知水平有限，他们往往难以准确把握这些逻辑关系，导致在解决问题时出现逻辑错误。此时，教师应当通过反例来帮助学生理清概念之间的逻辑关系，提高他们的逻辑思维能力。例如，在学习“平行线”这一概念时，学生可能会误认为只要两条直线永不相交，它们就是平行线。这种认识虽然在直观上看似合理，但实际上并不完全正确。根据平行线的定义，只有在同一平面内永不相交的两条直线才是平行线。为了纠正学生的这种错误认识，教师可以通过反例来说明这一点。例如，空间中的两条直线即使永不相交，也不一定是平行线，因为它们可能不在同一个平面内。通过这样的反例，学生可以更加深刻地理解平行线的定义，避免在后续的学习中出现类似的逻辑错误。
总之，数学反例在教学中的作用不容忽视。它不仅可以帮助学生纠正错误认识，深化对数学概念的理解，还可以培养学生的批判性思维能力和逻辑推理能力。因此，教师在教学过程中应当善于运用反例，特别是在学生对概念的理解存在误区、应用存在偏差或逻辑关系理解不深的情况下，适时地引入反例，引导学生主动思考，积极参与到数学知识的探索和建构中来。通过这种方式，不仅可以提高教学效果，还可以激发学生对数学的兴趣，培养他们良好的数学素养。在新时代中国特色社会主义思想的指导下，我们应当不断创新教学方法，提升教学质量，为培养更多具有创新精神和实践能力的人才贡献力量。
